Двоичная система счисления

Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2. Для записи чисел в данной системе счисления используются только две цифры: 0 и 1.

Рассмотрим перевод двоичного числа из двоичной системы счисления в привычную нам десятеричную.
Для начала полезно запомнить базис веса разрядов (Система Счисления - СС₂) хотя бы до десятой степени двойки:

СС2	210	29	28	27	26	25	24	23	22	21	20
СС10	1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1

Перевод числа из двоичной СС в десятичную СС сводится к следующему: следует в десятичной системе счисления сложить те степени двоек, которые соответствуют единицам в записи исходного двоичного числа.

Пример:

11011₂=1*2⁴+1*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰=16+8+0+2+1=27, видно, что каждый 0 или 1 данного числа мы умножили на 2 в n степени. Осталось разобраться откуда появились 2ⁿ степени? Обратите внимание на двоичное число. Если мы запишем его немного по другому:

1⁴1³0²1¹1⁰ = 11011₂

Каждому о и 1 данного числа мы присвоили степень исходя из места расположения 0 или 1. Обратите внимание на то, что степени расположены в порядке возрастания с права налево. Логично предположить, что если бы число состояло из большего количества 0 и 1, то и наша запись степеней продлилась.

Пример:

100010₂=1⁵0⁴0³0²1¹0⁰=1*2⁵+0*2⁴+0*2³+0*2²+1*2¹+0*2⁰=32+2=34₁₀

Теперь, рассмотрим перевод числа из десятичной системы счисления в двоичную.

Для этого нам необходимо делить десятичное число на 2, до тех пор пока мы не получим в остатке о или 1, затем полученный в ходе деления числитель, следует опять разделить на 2, до тех пор пока мы не получим в остатке о или 1. Данную операцию деления числителя на 2 следует проводить до тех пор, пока в числителе мы не получим о или 1. Полученные в ходе деления остатки мы запишем в виде двоичного числа. Важно, запись производится справа налево, или снизу вверх, в зависимости от способа деления.

1 Способ.

Используется при переводе десятичного числа, ели оно достаточно большое. Переведем число 80 из десятичной СС₁₀ в двоичную СС₂:

№ Операции	Выражение	Частное	Остаток
7	80:2	40	0
6	40:2	20	0
5	20:2	10	0
4	10:2	5	0
3	5:2	2	1
2	2:2	1	0
1	1:2	0	1

Осталось записать полученное число. В данном случае записываем его снизу вверх или в соответствии с номером операции деления:

Ответ: 1010000

2 Способ.

Делим десятичное число в столбик:

Полученные остатки записываем снизу вверх.

Ответ: 1010000.